Cuando educar es formar.....

Gracias a todos mis ex alumnos que todavía ingresan a mi blog, me da gusto saber de ustedes, de que no olvidan a aquella profesora que estuvo allí, enseñando, jugando, retando, peleando, riendo y no se cuantas cosas más.
Anécdotas con ustedes son muchas, pero el recuerdo de sus caras, sus preguntas, sus desganos, sus rabietas, enojos, no se olvidan, ahí estan.
Gracias por hacerme sentir que mi profesión vale la pena, que no importa las razones, son ustedes los que valoran mi trabajo, mi esfuerzo y eso, que sólo ustedes saben que yo entrego, FORMACION.
Me lleno de alegría y de pena por no seguir a sus lados, pero aquí estoy dispuesta a escuchar, ayudar y a seguir siendo su profesora virtual.

Los sigo recordando...
Los quiero mucho
Patricia Salazar.

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Ecuaciones Diofánticas

A pedido de muchos de mis lectores, aquí tienen un problema de las ecuaciones diofanticas una aplicación del trabajo de DIOFANTO.
Compra de una bufanda

Problema

Una bufanda cuesta 19 rublos, pero el comprador no tiene más que billetes de tres rublos; y la cajera, sólo de cinco. ¿Puede en estas condiciones abonarse el importe de la compra, y cómo hacerlo?
La misión de este problema se reduce a saber cuántos billetes de tres rublos deben entregarse a la cajera para que ella dé las vueltas con billetes de cinco, cobrando los 19 rublos. Las incógnitas del problema son dos: el número de billetes de tres rublos (x) y el número de billetes de cinco (y). Sólo puede plantearse una ecuación:

Aunque una ecuación con dos incógnitas tiene infinidad de soluciones, esto no quiere decir que entre ellas haya alguna en las que x e y sean números enteros y positivos (recordemos que se trata del número de billetes de banco). He aquí por qué el álgebra ha elaborado el método de solución de estas ecuaciones "indeterminadas". El mérito de haberlas introducido en el álgebra pertenece al primer sabio europeo que cultivó esta ciencia, a Diofanto, célebre matemático de la antigüedad, por lo que estas ecuaciones se llaman con frecuencia "ecuaciones de Diofanto".

Solución
En el ejemplo citado mostremos cómo deben resolverse tales ecuaciones. Hay que hallar el valor de x y de y en la ecuación

sin olvidar que tanto x cómo y son números enteros y positivos. Despejando la incógnita cuyo coeficiente es menor, es decir, 3x tendremos:

de donde

Como x, 6 e y son números enteros, la ecuación puede ser acertada sólo en el caso de que (1 + 2y) / 3 sea también un número entero. Expresémosle con la letra t. Entonces

donde

y, por tanto,

De la última ecuación despejaremos la y

Comoquiera que y y t son números enteros, (t - 1) / 2 debe ser un número entero t 1 . Por consiguiente,

y, además,

de donde

Sustituyamos el valor de t = 2t 1 + 1 en las igualdades anteriores:

De esta forma hemos encontrado la expresión para x y para y

Es sabido que x e y son enteros y además positivos, es decir, mayores que 0; por lo tanto,

De estas desigualdades resulta que

Con esto el valor t l está acotado.

De aquí que la magnitud t l es mayor que - 1 / 3, (y claro, mucho mayor que - 8 / 5). Mas, como t l es un número entero, se deduce que puede tener tan sólo los siguientes valores:

Los valores correspondientes de x y de y son:

Veamos ahora de qué manera puede efectuarse el pago: o bien se entregan 8 billetes de 3 rublos, recibiendo de vuelta uno de cinco:

o se entregan 13 billetes de 3 rublos, recibiendo de vuelta 4 billetes de 5 rublos:

Teóricamente, este problema tiene infinidad de soluciones, pero en la práctica su número es limitado, por cuanto ni el comprador, ni la cajera tienen una cantidad ilimitada de billetes de banco. Si cada uno dispone, por ejemplo, de 10 billetes, el pago puede efectuarse sólo de una forma: entregando 8 billetes de 3 y recibiendo uno de 5. Como vemos, en la práctica las ecuaciones indeterminadas pueden dar soluciones determinadas

Volviendo a nuestro problema, proponemos al lector que, en calidad de ejercicio, resuelva por su cuenta una de las variantes: concretamente, examinar el caso en que el comprador no tenga más que billetes de 5 rublos, y la cajera, sólo de 3. En este caso aparecen las siguientes soluciones:

En efecto,

Podríamos obtener también estos resultados al tomar las soluciones del problema central mediante un sencillo procedimiento algebraico. Puesto que entregar billetes de cinco rublos y recibir de tres rublos equivale a "recibir billetes negativos de cinco rublos" y "dar billetes negativos de 3 rublos", la nueva variante del problema se resuelve con la ecuación planteada en el problema central:

pero con la condición de que x e y sean números negativos. Por eso, de las igualdades

sabiendo que x < 0 e y < 0, deducimos:

y, por consiguiente,

Tomando t 1 = - 2, - 3, - 4, etc., obtenemos de las fórmulas anteriores, los siguientes valores para x e y

El primer par de soluciones, x = - 2, y = - 5, significa que el comprador "paga menos dos billetes de tres rublos" y "recibe menos cinco billetes de cinco", es decir, traducido al idioma común, quiere decir que paga con cinco billetes de a cinco, recibiendo como vuelta 2 billetes de a tres. De esta misma manera interpretaremos también las demás soluciones.

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AHORA ESCHER.

Aquí estoy de nuevo mas renovada, descansada, muchas gracias a quienes siguen visitandome la verdad es que no he posteado hace tiempo pero hoy quiero brindar un homenaje a un gran pintor que está muy relacionado con matemática.

OTRO MUNDO II

Maurits Cornelius Escher
Escher nació un 17 de Junio de 1898 en Leeuwarden (Holanda). Como la mayoría de los genios, no fue un estudiante destacado en el colegio, a pesar de lo cual su talento artístico ya se vislumbraba en este periodo. Su padre le introdujo al mundo de la carpintería y le enseño otras habilidades manuales. Comenzó los estudios de Arquitectura, pero una vez allí, Escher se dió cuenta de que su auténtica pasión eran las artes gráficas. Tras dos años en la escuela de arte, obtuvo una especialización en técnicas gráficas y trabajo sobre madera y se dedicó a viajar por el sur de Francia, España e Italia, lugares donde encontró numerosas fuentes de inspiración para su obra. A lo largo de su carrera como artista, Escher se centró en el arte de la estructura, rama hacía la que sentía una especial atracción. Sin embargo, sus primeras obras tendieron a retratar de forma realista los paisajes y la arquitectura con los que se encontró en sus viajes. En estos trabajos Escher reflejó su predilección por la estructura de las construcciones en detrimento del paisaje en sí. La Alhambra de Granada (España), visitada por Escher en incontables ocasiones, fue el edificio que impresionó de forma definitiva a nuestro personaje gracias a las recargadas ornamentaciones moriscas de sus muros, las cuales se repartían el espacio disponible de forma esquemática y perfecta. Esta cautivación le influyó en sus creaciones posteriores a 1937, en las que muestran una división regular del plano y sus famosos patrones de repetición. Su visión única del espacio y de las matemáticas le permitieron dibujar una numerosa colección de fantásticos dibujos hasta su muerte en 1972.

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MI cumpleaños!!!!!!!!!!

Quiero dar gracias a todos mis alumnos que hoy se esmeraron en cantar mi happy birthday (cumpleaños feliz), a quienes me festejaron y en general a todos quienes recordaron que un 10 de septiembre fue una fecha importante para el mundo ya que se cumplía el sueño de una pareja al tener una hija como yo.....
Millones de gracias a mis apoderados por los regalos y festejos, por la preocupación y todos aquellos detalles que no olvidaron...

Millones de gracias...

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Feliz!!!!!!!!!!!!

Queridos Alumnos, estoy super contenta por la tarea cumplida, los quiero felicitar por cumplir con el objetivo y darle gracias a todos por la buena acogida que ha tenido mi blog para ustedes....
Me encantaría que muy pronto sea yo, quien les comente en su blog.... luego nos juntaremos para cumplir este nuevo desafío....

A mis alumnos de octavo básico todavía no he podido postear su tarea, pero estoy en proceso de rebobinado y me es difícil atar mis ideas, de todas maneras volveremos a planificar las tareas, fechas etc. en clases porsupuesto pero mientras tanto seguiré pensando en su tarea....

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DECALOGO DE LA DIDACTICA DE LA MATEMATICA

1. No adoptar una didáctica rígida, sino amoldarla en cada caso al alumno, observándole constantemente

2. No olvidar el origen de las Matemáticas ni los procesos históricos de su evolución.

3. Presentar las Matemáticas como una unidad en relación con la vida natural y social.

4. Graduar cuidadosamente los planos de abstracción.

5. Enseñar guiando la actividad creadora y descubridora del alumno.

6. Estimular dicha actividad despertando interés directo y funcional hacia el objeto del conocimiento.

7. Promover en todo lo posible la autocorrección.

8. Conseguir cierta maestría en las soluciones antes de automatizarlas.

9. Cuidar que la expresión del alumno sea traduccción fiel de su pensamiento.

10. Procurar a todo alumno éxitos que eviten su desaliento.
Pedro Puig Adam. 1955

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Biografía de Diofanto

Es dificil encontrar algo mas de este matematico, la verdad que es casi imposible, pero solo les puedo dejar lo que encontre...

Nació: alrededor del año 200 Murió: alrededor del año 284
Matemático griego que floreció en Alejandría alrededor del año 275. Es sin duda el más grande algebrista griego. Nada se conoce de su vida, pero si que han llegado a nuestras manos gran cantidad de trabajos. Resolvió problemas con ecuaciones algebraicas e inventó un formulismo particular. Su principal obra es la "Arithmetica", dedicada casi exclusivamente a la resolución exacta de ecuaciones determinadas e indeterminadas, de forma que la rama del análisis que se dedica a esta tarea, se conoce hoy en día como análisis diofántico.

La obra más conocida de Diofanto es Aritmética, una colección de 130 problemas, distribuidos en 13 libros, de los que sólo se conservan 6. La mayoría de los problemas son de ecuaciones lineales y cuadráticas, pero siempre con solución positiva y racional, pues en aquella época no tenían sentido los números negativos y mucho menos los irracionales.

Diofanto consideró tres tipos de ecuaciones de segundo grado:

ax2 + bx = c
ax2 = bx + c
ax2 + c = bx

El motivo de no considerar estas ecuaciones como una sola es que en aquella época no existía el cero ni los números negativos.

Aritmética también trata sobre teoría de números. Parece ser que Diofanto sabía que ningún número de la forma 4n + 3 o 4n - 1 puede obtenerse como la suma de dos cuadrados, ni ningún número de la forma 24n + 7 puede obtenerse como la suma de tres cuadrados.

Diofanto introdujo símbolos para representar las cantidades desconocidas y una abreviatura para la palabra igual. Esto fue un paso muy importante hacia el álgebra simbólica actual.

Aritmetica ha sido un libro muy influyente en el desarrollo de la matemática. La traducción más famosa es la de Bachet en 1621, que es la edición en que Fermat hizo su célebre anotación.Su obra se caracteriza por su estilo analítico propio, único en toda la literatura matemática antigua. Los escritos de Diofanto contribuyeron de manera esencial para el perfeccionamiento de la notación algebraica, a la vez que abrieron nuevas perspectivas para el desarrollo del álgebra de la época. La obra de Diofanto sirvió de base a tres importantes corrientes de la matemática posterior: la geometría analítica, el álgebra moderna y la teoría de números.

Se puede considerar a Diofanto como el fundador del Álgebra.

Diofanto escribió otros libros, como Porismas, que se ha perdido y otro Sobre números poligonales que ha llegado hasta nuestros días. Otro trabajo titulado Preliminares a los elementos de geometría, que se atribuía a Heron, se cree que pertenece a Diofanto.

(Estraído de http://expertos.monografias.com)

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De vuelta a Clases

Hola a todos mis alumnos del Colegio Leonardo Da Vinci
Espero que hayan tenido unas excelentes vacaciones, disfrutando de su familia y de quienes los quieren y regalonean.
Ahora este segundo semestre, tenemos una pila de cosas por hacer, se vienen cosa entretenidas, pero más que esto, la solidaridad es parte de nosostros, y la debemos tenr siempre presente.
RECUERDA un ALUMNO DAVINCIANO ES UN ALUMNO SOLIDARIO

Nos vemos este Martes 26 de Julio..

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