Cuando educar es formar.....

Gracias a todos mis ex alumnos que todavía ingresan a mi blog, me da gusto saber de ustedes, de que no olvidan a aquella profesora que estuvo allí, enseñando, jugando, retando, peleando, riendo y no se cuantas cosas más.
Anécdotas con ustedes son muchas, pero el recuerdo de sus caras, sus preguntas, sus desganos, sus rabietas, enojos, no se olvidan, ahí estan.
Gracias por hacerme sentir que mi profesión vale la pena, que no importa las razones, son ustedes los que valoran mi trabajo, mi esfuerzo y eso, que sólo ustedes saben que yo entrego, FORMACION.
Me lleno de alegría y de pena por no seguir a sus lados, pero aquí estoy dispuesta a escuchar, ayudar y a seguir siendo su profesora virtual.

Los sigo recordando...
Los quiero mucho
Patricia Salazar.

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Ecuaciones Diofánticas

A pedido de muchos de mis lectores, aquí tienen un problema de las ecuaciones diofanticas una aplicación del trabajo de DIOFANTO.
Compra de una bufanda

Problema

Una bufanda cuesta 19 rublos, pero el comprador no tiene más que billetes de tres rublos; y la cajera, sólo de cinco. ¿Puede en estas condiciones abonarse el importe de la compra, y cómo hacerlo?
La misión de este problema se reduce a saber cuántos billetes de tres rublos deben entregarse a la cajera para que ella dé las vueltas con billetes de cinco, cobrando los 19 rublos. Las incógnitas del problema son dos: el número de billetes de tres rublos (x) y el número de billetes de cinco (y). Sólo puede plantearse una ecuación:

Aunque una ecuación con dos incógnitas tiene infinidad de soluciones, esto no quiere decir que entre ellas haya alguna en las que x e y sean números enteros y positivos (recordemos que se trata del número de billetes de banco). He aquí por qué el álgebra ha elaborado el método de solución de estas ecuaciones "indeterminadas". El mérito de haberlas introducido en el álgebra pertenece al primer sabio europeo que cultivó esta ciencia, a Diofanto, célebre matemático de la antigüedad, por lo que estas ecuaciones se llaman con frecuencia "ecuaciones de Diofanto".

Solución
En el ejemplo citado mostremos cómo deben resolverse tales ecuaciones. Hay que hallar el valor de x y de y en la ecuación

sin olvidar que tanto x cómo y son números enteros y positivos. Despejando la incógnita cuyo coeficiente es menor, es decir, 3x tendremos:

de donde

Como x, 6 e y son números enteros, la ecuación puede ser acertada sólo en el caso de que (1 + 2y) / 3 sea también un número entero. Expresémosle con la letra t. Entonces

donde

y, por tanto,

De la última ecuación despejaremos la y

Comoquiera que y y t son números enteros, (t - 1) / 2 debe ser un número entero t 1 . Por consiguiente,

y, además,

de donde

Sustituyamos el valor de t = 2t 1 + 1 en las igualdades anteriores:

De esta forma hemos encontrado la expresión para x y para y

Es sabido que x e y son enteros y además positivos, es decir, mayores que 0; por lo tanto,

De estas desigualdades resulta que

Con esto el valor t l está acotado.

De aquí que la magnitud t l es mayor que - 1 / 3, (y claro, mucho mayor que - 8 / 5). Mas, como t l es un número entero, se deduce que puede tener tan sólo los siguientes valores:

Los valores correspondientes de x y de y son:

Veamos ahora de qué manera puede efectuarse el pago: o bien se entregan 8 billetes de 3 rublos, recibiendo de vuelta uno de cinco:

o se entregan 13 billetes de 3 rublos, recibiendo de vuelta 4 billetes de 5 rublos:

Teóricamente, este problema tiene infinidad de soluciones, pero en la práctica su número es limitado, por cuanto ni el comprador, ni la cajera tienen una cantidad ilimitada de billetes de banco. Si cada uno dispone, por ejemplo, de 10 billetes, el pago puede efectuarse sólo de una forma: entregando 8 billetes de 3 y recibiendo uno de 5. Como vemos, en la práctica las ecuaciones indeterminadas pueden dar soluciones determinadas

Volviendo a nuestro problema, proponemos al lector que, en calidad de ejercicio, resuelva por su cuenta una de las variantes: concretamente, examinar el caso en que el comprador no tenga más que billetes de 5 rublos, y la cajera, sólo de 3. En este caso aparecen las siguientes soluciones:

En efecto,

Podríamos obtener también estos resultados al tomar las soluciones del problema central mediante un sencillo procedimiento algebraico. Puesto que entregar billetes de cinco rublos y recibir de tres rublos equivale a "recibir billetes negativos de cinco rublos" y "dar billetes negativos de 3 rublos", la nueva variante del problema se resuelve con la ecuación planteada en el problema central:

pero con la condición de que x e y sean números negativos. Por eso, de las igualdades

sabiendo que x < 0 e y < 0, deducimos:

y, por consiguiente,

Tomando t 1 = - 2, - 3, - 4, etc., obtenemos de las fórmulas anteriores, los siguientes valores para x e y

El primer par de soluciones, x = - 2, y = - 5, significa que el comprador "paga menos dos billetes de tres rublos" y "recibe menos cinco billetes de cinco", es decir, traducido al idioma común, quiere decir que paga con cinco billetes de a cinco, recibiendo como vuelta 2 billetes de a tres. De esta misma manera interpretaremos también las demás soluciones.

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DECALOGO DE LA DIDACTICA DE LA MATEMATICA

1. No adoptar una didáctica rígida, sino amoldarla en cada caso al alumno, observándole constantemente

2. No olvidar el origen de las Matemáticas ni los procesos históricos de su evolución.

3. Presentar las Matemáticas como una unidad en relación con la vida natural y social.

4. Graduar cuidadosamente los planos de abstracción.

5. Enseñar guiando la actividad creadora y descubridora del alumno.

6. Estimular dicha actividad despertando interés directo y funcional hacia el objeto del conocimiento.

7. Promover en todo lo posible la autocorrección.

8. Conseguir cierta maestría en las soluciones antes de automatizarlas.

9. Cuidar que la expresión del alumno sea traduccción fiel de su pensamiento.

10. Procurar a todo alumno éxitos que eviten su desaliento.
Pedro Puig Adam. 1955

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De vuelta a Clases

Hola a todos mis alumnos del Colegio Leonardo Da Vinci
Espero que hayan tenido unas excelentes vacaciones, disfrutando de su familia y de quienes los quieren y regalonean.
Ahora este segundo semestre, tenemos una pila de cosas por hacer, se vienen cosa entretenidas, pero más que esto, la solidaridad es parte de nosostros, y la debemos tenr siempre presente.
RECUERDA un ALUMNO DAVINCIANO ES UN ALUMNO SOLIDARIO

Nos vemos este Martes 26 de Julio..

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Relojes exactos

Tengo dos relojes que funcionan mal con total exactitud.

En efecto, uno de ellos adelanta 5 minutos cada hora y el otro atrasa 5 minutos cada hora.

Hoy puse en hora a ambos exactamente a las 00:00

¿Cuándo volverán a marcar la misma hora ambos relojes al mismo tiempo?

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