La conexión de las matemáticas con el arte se remonta a miles de años atrás. Los matemáticos se han utilizado para diseñar las catedrales góticas, los mosaicos, las alfombras orientales,... Las formas geométricas son fundamentales para los cubistas y para los expresionistas abstractos. Y artistas como M. C. Escher representaron el infinito, la simetría, las espirales, los planos hiperbólicos, ...

Mathematical imagery es un sitio para explorar el mundo de las matemáticas y el arte. Puedes enviar postales electrónicas, o simplemente disfrutar con las imágenes.

La de arriba pertenece a la galería "Mathscapes" (paisajes matemáticos). Anne M. Burns dice que gracias a los ordenadores pudo "ver" la belleza de las matemáticas. Las nubes y las plantas fueron creadas utilizando fractales. Las montañas se crearon con sumas trigonométricas con coeficientes generados al azar. Después, se proyecta todo sobre la pantalla del ordenador haciendo una transformación tridimensional.

La espera se hace interminable, no se cuanta veces espere sin perder la esperanza de tu llegada, fueron momentos de dolor al saber que no llegarías.
La ilusión de verte, nuevamente, también se acaba, el deseo de esperar el momento, ya no existe.
Se comienza luego de desfallecer una y otra vez, y cada una de esas veces se tiene menos deseos de volverte a ver....
Así acaba el amor, así se desvanece la esperanza,así se siente no amar...
Dejas de creer en lo creíble, dejas de amar lo amado, dejas de soñar lo soñado, dejas de desear lo deseado, dejas de apasionarte con lo apasionado...
Todo se desvanece y ya no queda nada, nada.

Foto tomada de Maria Ines

Los sigo recordando...
Los quiero mucho
Patricia Salazar.

Problema

Una bufanda cuesta 19 rublos, pero el comprador no tiene más que billetes de tres rublos; y la cajera, sólo de cinco. ¿Puede en estas condiciones abonarse el importe de la compra, y cómo hacerlo?
La misión de este problema se reduce a saber cuántos billetes de tres rublos deben entregarse a la cajera para que ella dé las vueltas con billetes de cinco, cobrando los 19 rublos. Las incógnitas del problema son dos: el número de billetes de tres rublos (x) y el número de billetes de cinco (y). Sólo puede plantearse una ecuación:

Aunque una ecuación con dos incógnitas tiene infinidad de soluciones, esto no quiere decir que entre ellas haya alguna en las que x e y sean números enteros y positivos (recordemos que se trata del número de billetes de banco). He aquí por qué el álgebra ha elaborado el método de solución de estas ecuaciones "indeterminadas". El mérito de haberlas introducido en el álgebra pertenece al primer sabio europeo que cultivó esta ciencia, a Diofanto, célebre matemático de la antigüedad, por lo que estas ecuaciones se llaman con frecuencia "ecuaciones de Diofanto".

Solución
En el ejemplo citado mostremos cómo deben resolverse tales ecuaciones. Hay que hallar el valor de x y de y en la ecuación

sin olvidar que tanto x cómo y son números enteros y positivos. Despejando la incógnita cuyo coeficiente es menor, es decir, 3x tendremos:

de donde

Como x, 6 e y son números enteros, la ecuación puede ser acertada sólo en el caso de que (1 + 2y) / 3 sea también un número entero. Expresémosle con la letra t. Entonces

donde

y, por tanto,

De la última ecuación despejaremos la y

Comoquiera que y y t son números enteros, (t - 1) / 2 debe ser un número entero t 1 . Por consiguiente,

y, además,

de donde

Sustituyamos el valor de t = 2t 1 + 1 en las igualdades anteriores:

De esta forma hemos encontrado la expresión para x y para y

Es sabido que x e y son enteros y además positivos, es decir, mayores que 0; por lo tanto,

De estas desigualdades resulta que

Con esto el valor t l está acotado.

De aquí que la magnitud t l es mayor que - 1 / 3, (y claro, mucho mayor que - 8 / 5). Mas, como t l es un número entero, se deduce que puede tener tan sólo los siguientes valores:

Los valores correspondientes de x y de y son:

Veamos ahora de qué manera puede efectuarse el pago: o bien se entregan 8 billetes de 3 rublos, recibiendo de vuelta uno de cinco:

o se entregan 13 billetes de 3 rublos, recibiendo de vuelta 4 billetes de 5 rublos:

Teóricamente, este problema tiene infinidad de soluciones, pero en la práctica su número es limitado, por cuanto ni el comprador, ni la cajera tienen una cantidad ilimitada de billetes de banco. Si cada uno dispone, por ejemplo, de 10 billetes, el pago puede efectuarse sólo de una forma: entregando 8 billetes de 3 y recibiendo uno de 5. Como vemos, en la práctica las ecuaciones indeterminadas pueden dar soluciones determinadas

Volviendo a nuestro problema, proponemos al lector que, en calidad de ejercicio, resuelva por su cuenta una de las variantes: concretamente, examinar el caso en que el comprador no tenga más que billetes de 5 rublos, y la cajera, sólo de 3. En este caso aparecen las siguientes soluciones:

En efecto,

Podríamos obtener también estos resultados al tomar las soluciones del problema central mediante un sencillo procedimiento algebraico. Puesto que entregar billetes de cinco rublos y recibir de tres rublos equivale a "recibir billetes negativos de cinco rublos" y "dar billetes negativos de 3 rublos", la nueva variante del problema se resuelve con la ecuación planteada en el problema central:

pero con la condición de que x e y sean números negativos. Por eso, de las igualdades

sabiendo que x < 0 e y < 0, deducimos:

y, por consiguiente,

Tomando t 1 = - 2, - 3, - 4, etc., obtenemos de las fórmulas anteriores, los siguientes valores para x e y

El primer par de soluciones, x = - 2, y = - 5, significa que el comprador "paga menos dos billetes de tres rublos" y "recibe menos cinco billetes de cinco", es decir, traducido al idioma común, quiere decir que paga con cinco billetes de a cinco, recibiendo como vuelta 2 billetes de a tres. De esta misma manera interpretaremos también las demás soluciones.

Aprendió también sobre la historia de las diferentes religiones que se conocían en aquel entonces, sobre oratoria, sobre el pensamiento de los filósofos y sobre los principios de la enseñanza. Viajó a Atenas y a Roma siempre con el mismo afán de aprender y de enseñar. La casa de Hipatia se convirtió en un lugar de enseñanza donde acudían estudiantes de todas partes del mundo conocido, atraídos por su fama. Uno de sus alumnos fue Sinesio de Cirene, obispo de Ptolemaida (en Fenicia), rico y con mucho poder. Este personaje dejó escrita mucha información sobre Hipatia, su maestra. Por medio de él pueden llegar a conocerse los libros que ella escribió para la enseñanza, aunque ninguno ha llegado a nuestros días. Otro alumno llamado Hesiquio el Hebreo escribió unas obras que se conservan, en las que también hace una descripción sobre las actividades de Hipatia y asegura que los magistrados acudían a ella para consultarle sobre asuntos de la administración. Dice también que fue una persona muy influyente en el aspecto político. También se interesaba por la mecánica y ponía en práctica la tecnología. Se sabe que inventó un aparato para destilar el agua, un hidrómetro graduado para medir la densidad de los líquidos y un artefacto para medir el nivel del agua.

Pero Hipatia era pagana y le tocó vivir en tiempos duros para el paganismo. Su situación llegó a ser muy peligrosa en aquella ciudad que se iba haciendo cada vez más cristiana. Los filósofos neoplatónicos como Hipatia pronto se vieron cruelmente perseguidos. Algunos se convirtieron al cristianismo, pero Hipatia no consintió en ello a pesar del miedo y de los consejos de su amigos como el caso de Orestes, prefecto romano y alumno suyo, que no consiguió nada a pesar de sus ruegos. Hipatia resultó ser para sus enemigos, no una mujer científica sino una bruja peligrosa.

Muerte de Hipatía
En el año 412 el obispo Cirilo de Alejandría fue nombrado (para sustituir a su tío Teófilo), patriarca, un título de dignidad eclesiástica que sólo se usaba en Alejandría, Constantinopla y Jerusalén, que equivalía casi al del papa de Roma. Cirilo (elevado siglos más tarde a los altares) era un católico que no consentía ninguna clase de paganismo ni de herejía y que luchó toda su vida defendiendo la ortodoxia de la Iglesia católica y combatiendo el nestorianismo. Los historiadores creen que Cirilo fue el principal responsable de la muerte de Hipatia, aunque no exista documentación directa que lo acredite.

Se dice que Cirilo era enemigo de esta mujer, a la que temía y admiraba a la vez. Pero siguiendo la tónica general de la época, no le era posible comprender ni tampoco consentir que una mujer se dedicase a la ciencia y menos aún a esa clase de ciencia que difícilmente podían comprender las personas que no eran eruditas en el tema. Por lo tanto creó un clima y un ambiente de odio y fanatismo hacia ella, tachándola de hechicera y bruja pagana. En el mes de marzo del año 415, Hipatia fue asesinada de la manera más cruel por un grupo de monjes de la iglesia de San Cirilo de Jerusalén (no hay que confundir a los dos Cirilos: el de Jerusalén había muerto en el año 387). Los hechos están recogidos por un obispo de Egipto del siglo VII llamado Juan de Nikio. En sus escritos justifica la masacre que se hizo en aquel año contra los judíos de Alejandría y también la muerte de Hipatia. Cuenta cómo un grupo de cristianos atolondrados, impetuosos y violentos, seguidores de un lector llamado Pedro fueron en su busca, la golpearon, la desnudaron y la arrastraron por toda la ciudad hasta llegar a un templo llamado Cesareo; allí continuaron con la tortura cortando su piel y su cuerpo con caracolas afiladas, hasta que murió; a continuación descuartizaron su cuerpo y lo llevaron a un lugar llamado Cinaron y allí finalmente lo quemaron. De esta manera creyeron dar muerte a lo que ellos llamaban idolatría y herejía.

Orestes, el prefecto romano amigo y alumno de Hipatia informó de los hechos y pidió a Roma una investigación. Pero por «falta de testigos», se fue retrasando, hasta que llegó un momento en que el propio Cirilo aseguró que Hipatia estaba viva y que habitaba en la ciudad de Atenas. Orestes tuvo que huir de Alejandría y abandonar su cargo. Con la muerte de Hipatia se terminó también la enseñanza del pensamiento de Platón no sólo en Alejandría sino en el resto del Imperio. El interés por las ciencias fue debilitándose y la Historia entró en el oscurantismo. Pudo sobrevivir en Bizancio y poco después empezó de nuevo a florecer en el mundo árabe musulmán.

OTRO MUNDO II

Maurits Cornelius Escher
Escher nació un 17 de Junio de 1898 en Leeuwarden (Holanda). Como la mayoría de los genios, no fue un estudiante destacado en el colegio, a pesar de lo cual su talento artístico ya se vislumbraba en este periodo. Su padre le introdujo al mundo de la carpintería y le enseño otras habilidades manuales. Comenzó los estudios de Arquitectura, pero una vez allí, Escher se dió cuenta de que su auténtica pasión eran las artes gráficas. Tras dos años en la escuela de arte, obtuvo una especialización en técnicas gráficas y trabajo sobre madera y se dedicó a viajar por el sur de Francia, España e Italia, lugares donde encontró numerosas fuentes de inspiración para su obra. A lo largo de su carrera como artista, Escher se centró en el arte de la estructura, rama hacía la que sentía una especial atracción. Sin embargo, sus primeras obras tendieron a retratar de forma realista los paisajes y la arquitectura con los que se encontró en sus viajes. En estos trabajos Escher reflejó su predilección por la estructura de las construcciones en detrimento del paisaje en sí. La Alhambra de Granada (España), visitada por Escher en incontables ocasiones, fue el edificio que impresionó de forma definitiva a nuestro personaje gracias a las recargadas ornamentaciones moriscas de sus muros, las cuales se repartían el espacio disponible de forma esquemática y perfecta. Esta cautivación le influyó en sus creaciones posteriores a 1937, en las que muestran una división regular del plano y sus famosos patrones de repetición. Su visión única del espacio y de las matemáticas le permitieron dibujar una numerosa colección de fantásticos dibujos hasta su muerte en 1972.

Y en Arica se celebrará la primera fonda blog.

Hacemos un paréntesis a los café-blog y celebremos las Fiestas Patrias. Nos reuniremos en la Junta de Vecinos de Patricio Lynch con Ejército (arriba casi llegando a los faldeos del Morro, es una casona antigua, estilo colonial). Algunos se entusiamaron con sus guitarras para un buen canturreo, otros para unos zapateos de una cueca nortina caliche... y así un momento de compartir en buena onda.

La "quina" es para comprar su buen vino, su choripan y cosas por el estilo... también se aceptan donaciones al momento para el malón. Creamos un correo para juntar a la bandada de bloggistas del extremo de Chile, el mail es extremablog@chile.com.

Este 17 de septiembre se viene a todo blog.
Tomado del Blog de gerardo

Millones de gracias...

Actividad

En la figura siguiente tienes dibujados algunos cuerpos

a. ¿Qué características comunes ves a todos ellos?
b. Dibuja otros tres cuerpos con las mismas características. (el dibujo en tu cuaderno)
c. Piensa objetos reales en los que aparezcan poliedros. (esto si lo puedes contestar aquí)
Recuerden que son 39 alumnos por lo tanto, todos piensan distintos.

Espero les guste...

A mis alumnos de octavo básico todavía no he podido postear su tarea, pero estoy en proceso de rebobinado y me es difícil atar mis ideas, de todas maneras volveremos a planificar las tareas, fechas etc. en clases porsupuesto pero mientras tanto seguiré pensando en su tarea....

2. No olvidar el origen de las Matemáticas ni los procesos históricos de su evolución.

3. Presentar las Matemáticas como una unidad en relación con la vida natural y social.

4. Graduar cuidadosamente los planos de abstracción.

5. Enseñar guiando la actividad creadora y descubridora del alumno.

6. Estimular dicha actividad despertando interés directo y funcional hacia el objeto del conocimiento.

7. Promover en todo lo posible la autocorrección.

8. Conseguir cierta maestría en las soluciones antes de automatizarlas.

9. Cuidar que la expresión del alumno sea traduccción fiel de su pensamiento.

10. Procurar a todo alumno éxitos que eviten su desaliento.
Pedro Puig Adam. 1955

A Juanito le gusta cocinar y para la hora de once decide preparar un queque.
Ubica la receta

INGREDIENTES:
4 huevos
2 tazas de harina
2 cucharadas de polvo de hornear
4 cucharadas de margarina
1 taza de azúcar
1 litro de leche
3 cucharada de esencia de vainilla


PREPARACION

Derretir la margarina y luego mezclarla con el azúcar, agregar las yemas y revolver lentamente. Ir agregando la harina, polvos de hornear y la leche, poco a poco, sin dejar de revolver. Finalmente agregar la vainilla.
Aparte, batir las claras de huevo a nieve, mezclar todo revolviendo lentamente. Poner en el horno caliente a fuego lento por 40 minutos

Juanito sabe que esta receta está hecha para 12 personas, y el quiere hacerlo solo para 6 personas. ¿ Puedes tú ayudar a Juanito a disminuir los ingredientes de la receta?

¿Cuál es la cantidad de ingredientes si desea hacer esta receta para 20 personas o 10 personas?

En la clase de Artes del quinto básico del colegio Saber Más, los alumnos y alumnas deben construir una maqueta de una "manzana" del barrio, con calles, jardines y edificios de la ciudad Geomega.
El grupo de Diego y Alicia tiene que hacer 4 edificios diferentes, los que deben ser realizados cumpliendo las siguientes condiciones:

Un cuerpo de base cuadrada con una cúspide.
Tres cuerpos con dos bases cuadradas y caras laterales rectangulares cada uno.
Un cuerpo de base triangular.
Un cuerpo con tres caras laterales triangulares.
Un cuerpo con 6 caras cuadradas.

Diego y Alicia discuten acerca de los cuerpos que incluirán en su trabajo.
Alicia piensa que su maqueta debe incluir: un cubo, 2 pirámides y 3 prismas.
Diego cree que los cuerpos son: 4 prismas, 1 cubo y una pirámide.

1) De acuerdo a tus conocimientos de poliedros ¿Quién tiene la razón?

2) Fundamenta tu respuesta. Y señala si tienes tú otra propuesta.

TÉRMINOS INDEFINIDOS DE LA GEOMETRÍA: (PUNTO, LÍNEA Y PLANO)
PUNTO

* Un punto sólo tiene posición en el espacio.
* Es la unidad indivisible de la geometría.
* No tiene dimensión (largo, alto, ancho)

LÍNEA

* Línea es una figura geométrica que se genera por un punto en movimiento.

* Línea recta

Si el punto se mueve sin cambiar de dirección, entonces es una línea recta.

Notación: ó

* Línea curva

# Si el punto cambia continuamente de dirección entonces es una línea curva.

Notación:
Una línea puede ser recta, curva o combinada. Una línea cualquiera, puede extenderse en forma ilimitada.

* Rayo

# Línea recta que crece en un solo sentido y una dirección.

* Trazo

# Línea segmentada, se caracteriza por dos puntos terminales y se le asocia una dimensión (longitud)

Notación:
Plano
Un plano es una superficie que tiene longitud y anchura pero no espesor.

El plano tiene dos dimensiones a diferencia de la mayoría de los casos que nos rodean que están en tres dimensiones.

¿ Desde cuando existe "Matemática"?

La matemática es, en el fondo, una exploración de las diversas estructuras complejas del universo. Analizar estas estructuras no ha sido en general un mero ejercicio especulativo o académico, sino un ejercicio práctico en el que se ha buscado muy pretendidamente la utilidad y el progreso de la cultura humana.

La matemática exploró inicialmente la multiplicidad presente en las cosas a su alrededor y para dominarla creó el número y la aritmética. El examen de las estructuras del espacio y de la forma condujeron al matemático hacia la geometría. El estudio de las transformaciones y cambios en el tiempo del mundo a su alrededor le condujeron al análisis matemático. El intento de enfrentarse y dominar hasta cierto punto la incertidumbre le condujo a la creación de la probabilidad y la estadística como herramientas para hacerlo eficazmente. El examen de las propias estructuras mentales del pensamiento, matemático o no, le llevaron hacia la construcción de la lógica, ...

Pero hay algo aún más profundo en el desarrollo de la matemática. La búsqueda de la belleza intelectual, esa belleza, como diría Platón "únicamente asequible por los ojos del alma", ha sido y siempre será uno de los estímulos más importantes en el quehacer incansable de la comunidad matemática. En la comunidad pitagórica este aspecto profundo de nuestra ciencia encaminó al matemático hacia los aspectos más hondos del ser y hacia la contemplación reverencial de la divinidad, que se presiente más o menos veladamente a través de la armonía intelectual del universo.

Pero la matemática se ha ejercitado también por razón de sus aspectos lúdicos, por sus conexiones con el arte. Se ha examinado como modelo y como campo de trabajo por filósofos y por psicólogos, etc. etc.

En resumen, las contribuciones de la matemática a la cultura humana han sido extraordinarias y extraordinariamente variadas y lo seguirán siendo aún más en el futuro. Como decía en 1923 Alfred N. Whitehead, uno de los grandes matemáticos y filósofos de nuestro siglo, con una visión certera y profética:

Si la civilización continúa avanzando, en los próximos 2000 años la novedad predominante en el pensamiento humano será el señorío de la intelección matemática.

La gran tarea de la matemática es, sin duda, seguir contribuyendo de múltiples formas, tan enriquecedoras como las que he mencionado, al progreso de la cultura humana.

La riqueza cultural que para la humanidad representa el acerbo de conocimientos y experiencias matemáticas a lo largo de varios milenios constituye un bien extraordinario para el hombre.

Transmitirla de la mejor manera posible a las generaciones posteriores para hacerlas capaces de utilizarla y de ampliarla es un trabajo extraordinariamente complejo por razones diversas y fáciles de entender. He aquí algunas:

* los contenidos matemáticos son estructuras elaboradas a través de un amplio esfuerzo colectivo que, en muchos casos, ha tenido lugar durante muchos siglos de esfuerzos de mentes muy privilegiadas. Es natural que la labor de transmisión presente problemas bien complicados.
* la transmisión de tales contenidos ha de hacerse poniendo la atención en las personas concretas a quienes van dirigidos, con características afectivas, cognitivas, ambientales, etc. muy diferentes que es necesario tener en cuenta tales personas están inmersas en una cultura y en una sociedad bien específicas, con sus formas de existencia y de comunicación propias y marcadamente diferentes unas de otras.

Extracto: Miguel de Guzman Universidad Complutense de Madrid