Entre 1879 y 1884, Cantor ideó una nueva disciplina basada en la noción de conjunto y la relación de pertenencia. Pronto sería conocida como Teoría de Conjuntos, una rama autónoma de la matemática.

La noción de conjunto que él utilizaba es de lo más simple y de lo menos restringida: “un conjunto es cualquier colección de objetos distintos y bien definidos de nuestra intuición o nuestro pensamiento, reunidos en un todo”.

Sin embargo, esta noción de conjunto pronto se presentó como problemática, pues desde la misma era posible derivar paradojas y, por lo tanto, contradicciones.

Una de las paradojas a las que me refiero es la conocida Paradoja de Russell, que él mismo formuló en 1901.

Para acercarnos a esta paradoja, una vez que ya tenemos la noción de conjunto, haremos una distinción entre conjuntos que pertenecen a sí mismos y conjuntos que no pertenecen a sí mismos.

Por ejemplo, “el conjunto de todas las mesas” o “el conjunto de todos los seres humanos” no pertenecen a sí mismos, porque el conjunto de todas las mesas, aunque es un conjunto, no es una mesa. Lo mismo ocurre con el conjunto de los seres humanos.

Ahora bien, “el conjunto de las cosas distintas de las mesas” es, él mismo, una cosa distinta de las mesas, y por eso pertenece a sí mismo. Esto también ocurre con “el conjunto de todos los conjuntos que existen”, etc.

Ahora, supongamos que tenemos el conjunto R (de Russell) y que éste es el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos:

Si el conjunto R pertenece a sí mismo, entonces no puede pertenecer a sí mismo, al igual que sus elementos. Pero si no pertenece a sí mismo, entonces cumple la condición para pertenecer a sí mismo, con lo que sí pertenece a sí mismo. En ambos casos llegamos a contradicción:

R pertenece a R si y sólo si R no pertenece a R.

Esta derivación basta para desbancar la noción básica de conjunto.

Más adelante, Russell determina que el origen de las paradojas relacionadas con la recién iniciada Teoría de Conjuntos es el llamado “Principio del círculo vicioso”. Éste dice, tal y como él lo expone en Principia Mathematica que “lo que quiera que involucre la totalidad de una colección no debe ser parte de esa colección”. Así, no podemos definir un objeto en términos del conjunto al que pertenece. Si así lo hiciéramos, la definición del objeto no sería en absoluto correcta, ni tampoco la del conjunto. Russell llama a este tipo de definiciones “impredicativas”.

Tras el diagnóstico de Russell, el “conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos” no puede un ser conjunto, pues se caracteriza a un conjunto de objetos que, necesariamente, está entre los objetos que forman parte del mismo. Por la misma razón, el “conjunto de las cosas distintas de las mesas” tampoco puede caracterizarse apropiadamente como conjunto.

Si aplicamos este principio, es imposible que surja la Paradoja de Russell.

P. S. Este post podría continuar con la Teoría de tipos de Russell, basada en la aplicación del Principio del círculo vicioso, que tampoco permite que surja la paradoja que se ha mostrado. Sin embargo, me parece que este post está superando ya el espacio permisible, y más aún, cuando el tema es éste.

P. P. S. Si alguien se lo lee hasta el final, tiene mi absoluto respeto y consideración. :)

Fuente: apuntes de la asignatura Lógica y Fundamentos de la facultad de Filosofía de la Universidad de Murcia.

Para leer más:

Wikipedia (español).

Wikipedia (inglés).

Stanford Encyclopedia of Philosophy (inglés).

Tengo que estudiarme una asignatura de Lógicas No Clásicas para mi súper Máster del Universo. Como no me da la gana de sufrirlo sola ni en silencio, he hecho un mini resumen basado en un apartado de los apuntes del profesor que me tengo que estudiar. Además, me tomo el lujo de entrar a saco en el tema, que éstas no son horas de hacer una introducción a una introducción, o sea, una "meta-introducción" (¿veis como no son horas?).

¿Cuál es la diferencia entre la Lógica Clásica (la que unos cuantos hemos visto un poquito en el instituto o un “muchito” en la carrera) y las Lógicas No Clásicas?

En cuanto a la Lógica Clásica (LC), ésta se caracteriza, básicamente, por dos rasgos:

1. Es bivalente.
2. Es veritativo-funcional

¿Qué significa que sea bivalente? Que dada una proposición, ésta sólo puede adoptar dos valores de verdad, verdadero o falso.

Que sea veritativo-funcional significa que, dada una proposición, su valor de verdad (que sea verdadera o falsa) dependerá de sus conectivas lógicas definidas como funciones de verdad y de los valores de verdad que se asignen a sus variables. En “cristiano” ¿cuándo es una fórmula verdadera y cuándo falsa? Pues depende de las conectivas (condicional, conjunción, disyunción, negador y bicondicional) y del valor de verdad que le demos a las variables (las letras proposicionales). En LC hay procedimientos que sirven para determinar el valor de verdad de una fórmula.

Ahora bien, distintos motivos han impulsado la proliferación de sistemas lógicos diferentes a LC. La motivación de fondo suele ser que ésta, en algún sentido, resulta inadecuada.

Así, hay sistemas que se presentan a sí mismos como alternativos a LC, que no aceptan todas las verdades lógicas que ésta contiene, así como sistemas que son suplementarios y que aceptan estas verdades pero añaden algunas más.

En el primer caso estaríamos hablando de Lógicas Alternativas (LA), mientras que en el segundo hablamos de Lógicas Extendidas (LE). Tres ejemplos de las primeras son la Lógica Multivalente, Intuicionista y de la Relevancia. Tres ejemplos de las segundas son la Lógica Modal, Deóntica y Temporal.

De estos ejemplos, las LE y la de la Relevancia son bivalentes pero no veritativo funcionales. La Lógica Multivalente es veritativo-funcional, pero no bivalente, y la Intuicionista ni siquiera reconoce el concepto de “valor de verdad”.

Básicamente, ¿cuándo hablamos de una LA y cuándo de una LE?

Los sistemas no clásicos suplementarios difieren de LC en que cuentan con un alfabeto mayor que el clásico y aceptan como válidos todos los teoremas e inferencias válidas de LC, pero incluyen otros teoremas e inferencias válidas adicionales.

Los sistemas no clásicos rivales difieren de LC en que cuentan con el mismo alfabeto que el clásico y todos sus teoremas e inferencias válidas son también válidos en la lógica clásica, pero hay teoremas e inferencias válidos en LC que son declarados inválidos.

Tras esta breve introducción, ya tengo la excusa perfecta para hablaros pronto de Intuicionismo y de Brouwer.